Question

【題目】已知，，若點A為函數上的任意一點，點B為函數上的任意一點.

(1)求A，B兩點之間距離的最小值；

(2)若A，B為函數與函數公切線的兩個切點，求證:這樣的點B有且僅有兩個，且滿足條件的兩個點B的橫坐標互為倒數.

Answer 1

【答案】（1）.（2）證明見解析

【解析】

（1）由于與互為反函數，即函數圖象關于y=x對稱，且在點(0，1)處的切線為y=x+1和在點(1，0)的切線為y=x-1，所以A，B兩點之間的距離的最小值即為(0，1)與(1，0)之間的距離；

（2）在A處的切線為，在B 處的切線為，由于它們是，公切線 ，所以，聯立消得，，最后令，證，有且僅有兩個解，且兩個解互為倒數即可.

(1)解:由，則在點(0，1)處的切線為y=x+1，

又，則在點(1，0)的切線為y=x-1，

由于與互為反函數，即函數圖象關于y=x對稱如圖，

故而A，B兩點之間的距離的最小值即為(0，1)與(1，0)之間的距離，

所以A，B兩點之間的距離的最小值為.

(2)設A ，B

則在A處的切線為，即

在B 處的切線為，即，

所以，則，

要證這樣的點B有且僅有兩個，需證上式有且有兩個解，

令，下證有且僅有兩個解，

由，因為單調遞增，單調遞減，所以單調遞增，

又，，故存在唯一的，使得，

故而，當時，，單調遞減；

當時，，單調遞增；

又，，

所以在上有唯一的根；

記，由，則，

又，

故是在上有唯一的根，

所以有且僅有兩個解，

綜上所述，這樣的點B有且僅有兩個，且滿足條件的兩個點B的橫坐標互為倒數.