Question

函數y=x2(1-2x)，(0＜x＜

1

2

)取得最大值時，對應的自變量x的值是

1

3

．

Answer 1

分析：由y=x²（1-2x）=x²-2x³，知y′=2x-6x²，由y′=2x-6x²=0，得x=0，或x=

1

3

，由0＜x＜

1

2

，知x=

1

3

，列表得x=

1

3

時，函數取極大值y=(

1

3

)2•(1-2×

1

3

)=

1

27

．由此能求出函數y=x2(1-2x)(0＜x＜

1

2

)取最大值時，對應的自變量x的值．

解答：解：∵y=x²（1-2x）=x²-2x³，
∴y′=2x-6x²，
由y′=2x-6x²=0，得x=0，或x=

1

3

，
∵0＜x＜

1

2

，
∴x=

1

3

，
列表，得

x	（0， 1 3 ）	1 3	（ 1 3 ， 1 2 ）
f′（x）	+	0	-
f（x）	↑	極大值	↓

∴x=

1

3

時，函數取極大值y=(

1

3

)2•(1-2×

1

3

)=

1

27

．
∵函數y=x2(1-2x)(0＜x＜

1

2

)只有唯一的一個極大值，
∴結合函數的性質，知函數y=x2(1-2x)(0＜x＜

1

2

)取最大值時，
對應的自變量x的值為

1

3

．
故答案為：

1

3

．

點評：本題考查利用導數求閉區間上函數的最大值的應用，是基礎題．解題時要認真審題，仔細解答，注意合理地進行等價轉化．