Question

對于定義在[a，b]上的兩個函數f（x）與g（x），如果對于任意x∈[a，b]，均有|f（x）-g（x）|≤1，則稱f（x）與g（x）在[a，b]上是接近的．若函數y=x²-4x+2與函數y=4x+m在區間[3，5]上是接近的，則實數m的取值范圍是

 

．

Answer 1

分析：根據題中的新定義可知，若函數y=x²-4x+2與函數y=4x+m在區間[a，b]上是接近的，得兩函數解析式之差的絕對值小于等于1，分為：差小于等于1，大于等于-1兩種情況分別得出兩不等式，然后利用二次函數恒成立即可求出m的取值范圍．

解答：解：根據函數y=x²-4x+2與函數y=4x+m在區間[a，b]上是接近的，
可得：|（x²-4x+2）-（4x+m）|≤1，
即

x2-8x+2-m≤1① x2-8x+2-m≥-1②

，
由①得m≥x²-8x+1，解得：m≥x²-8x+1，x∈[3，5]的最大值，即m≥-14；
由②得m≤x²-8x+3，解得：m≤x²-8x+3，x∈[3，5]的最大值，即m≤-13；
綜上，實數m的取值范圍是[-14，-13]
故答案為[-14，-13]

點評：此題考查學生掌握新定義并靈活運用新定義化簡求值，是一道綜合題．