Question

下列幾個命題：
①方程x²+（a-3）x+a=0有一個正實根，一個負實根，則a＜0；
②函數y=

x2-1

+

1-x2

是偶函數，但不是奇函數；
③函數f（x）的值域是[-2，2]，則函數f（x+1）的值域為[-3，1]；
④一條曲線y=|3-x²|和直線y=a（a∈R）的公共點個數是m，則m的值不可能是1．
其中正確的有

①④

．

Answer 1

分析：解：對各項依次加以判斷：利用一元二次方程根與系數的關系，得到命題①正確；通過化簡，得函數y=

x2-1

+

1-x2

=0，定義域為{0}，函數是一個既奇又偶函數，得到②錯誤；通過函數圖象的平移，得到函數f（x+1）的值域與函數f（x）的值域相同，都是[-2，2]，得到③錯誤；通過分析函數y=|3-x²|的奇偶性，可得曲線y=|3-x²|和直線
y=a（a∈R）的公共點個數是2個、3個或4個，得到④正確．

解答：解：對于①，方程x²+（a-3）x+a=0有一個正實根，一個負實根，
由一元二次方程根與系數關系，得x₁x₂=a＜0，故①正確；
對于②，函數的定義域為{x|0≤x²≤0}={0}
∴定義域中只有一個元素0，并且f（0）=0，
說明函數是既奇又偶函數，故②錯；
對于③，函數f（x+1）的圖象可看作是由函數f（x）的圖象向左平移一個單位而得，
因此函數f（x+1）的值域與函數f（x）的值域相同，都是[-2，2]，故③錯；
對于④，對于曲線y=|3-x²|，設函數F（x）=|3-x²|
因為F（x）滿足F（-x）=F（x）成立，所以函數F（x）是偶函數
當x≠0時，若F（x）=a成立，
必有互為相反數的x值（至少兩個x）都適合方程，
又∵F（0）=F（±

6

）=3，a=3時，F（x）=a的根除0外還有±

6

，共3個根
∴方程F（x）=a的根的個數是2個或2個以上，不可能是1個，
原命題“曲線y=|3-x²|和直線y=a（a∈R）的公共點個數是m，則m的值不可能是1．”成立，故④正確．
故答案為：①④

點評：本題通過研究函數的定義域、值域、奇偶性和函數的零點等問題，考查了命題真假的判斷與應用，屬于中檔題．