Question

8．已知f（x）是二次函數，不等式f（x）＜0的解集為（0，5），且f（x）在[-1，4]上的最大值是12．
（1）求f（x）的解析式；
（2）是否存在自然數m，使得方程$f（x）+\frac{37}{x}=0$在區間（m，m+1）內有且只有兩個不等的實根？若存在，求出m的取值范圍；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據二次函數小于0的解集，設出解析式，利用單調性求得最大值，解出待定系數．
（2）將方程等價轉化h（x）=0，利用h（x）的導數判斷其單調性，利用單調性判斷h（x）=0的根的情況．

解答 解：（1）∵f（x）是二次函數，且f（x）＜0的解集是（0，5），∴可設f（x）=ax（x-5）（a＞0）．
∴f（x）在區間[-1，4]上的最大值是f（-1）=6a．
由已知得6a=12，∴a=2，∴f（x）=2x（x-5）=2x²-10x（x∈R）．
（2）方程f（x）+$\frac{37}{x}$=0等價于方程 2x³-10x²+37=0．
設h（x）=2x³-10x²+37，則h'（x）=6x²-20x=2x（3x-10）．
在區間x∈（0，$\frac{10}{3}$）時，h'（x）＜0，h（x）是減函數；
在區間（-∞，0），或（$\frac{10}{3}$，+∞）上，h'（x）＞0，h（x）是增函數，
故h（0）是極大值，h（$\frac{10}{3}$）是極小值．
∵h（3）=1＞0，h（$\frac{10}{3}$）=-$\frac{1}{27}$＜0，h（4）=5＞0，
∴方程h（x）=0在區間（3，$\frac{10}{3}$），（$\frac{10}{3}$，4）內分別有惟一實數根，故函數h（x）在（3，4）內有2個零點．
而在區間（0，3），（4，+∞）內沒有零點，在（-∞，0）上有唯一的零點．
畫出函數h（x）的單調性和零點情況的簡圖，如圖所示．
所以存在唯一的自然數m=3，使得方程f（x）+$\frac{37}{x}$=0在區間（m，m+1）內有且只有兩個不同的實數根．

點評 本小題主要考查函數的單調性、極值等基本知識，考查運用導數研究函數的性質的方法，考查函數與方程、數形結合等數學思想方法和分析問題、解決問題的能力，屬于中檔題．