Question

16．已知函數f（x）=-$\frac{1}{2}$cos2x-sinx-$\frac{1}{4}$，x∈R．
（1）求不等式f（x）≤0的解集；
（2）討論函數f（x）在[0，2π]的單調性．

Answer 1

分析 （1）把不等式f（x）≤0化簡為$-\frac{1}{2}≤sinx≤1$，再利用正弦函數的圖象和性質，求得x的范圍．
（2）利用正弦函數的圖象和性質、復合函數的單調性規律，求得函數f（x）在[0，2π]的單調性．

解答 解：（1）把不等式f（x）≤0化簡，可得${sin^2}x-sinx-\frac{3}{4}≤0$，解得$-\frac{1}{2}≤sinx≤1$，
即不等式的解集為 $\left\{{x\left|{2kπ-\frac{π}{6}≤x≤2kπ+\frac{7π}{6}，k∈Z}\right.}\right\}$．
（2）化簡函數的解析式，可得$f（x）={（sinx-\frac{1}{2}）^2}-1$，由于sinx∈[-1，1]，
令t=sinx，則t∈[-1，1]，f（x）=g（t）=${（t-\frac{1}{2}）}^{2}$-1．
當x∈[0，$\frac{π}{6}$]時，函數t∈[0，$\frac{1}{2}$]，且t單調遞增，g（t）單調遞減，故f（x）單調遞減；
當x∈（$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{2}$）時，函數t∈（$\frac{1}{2}$，1），且t單調遞增，g（t）單調遞增，故f（x）單調遞增；
當x∈[$\frac{π}{2}$，$\frac{5π}{6}$]時，t∈[$\frac{1}{2}$，1]，且函數t單調遞減，g（t）單調遞增，故f（x）單調遞減；
當x∈（$\frac{5π}{6}$，$\frac{3π}{2}$）時，t∈[-1，$\frac{1}{2}$），且函數t單調遞減，g（t）單調遞減，故f（x）單調遞增；
當x∈[$\frac{3π}{2}$，2π]時，t∈[-1，0]，函數t單調遞增，g（t）單調遞減，故f（x）單調遞減，
故f（x）的單調遞增區間是：（$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{2}$）、∈（$\frac{5π}{6}$，$\frac{3π}{2}$）．
故f（x）的單調遞減區間是：[0，$\frac{π}{6}$]、∈[$\frac{π}{2}$，$\frac{5π}{6}$]、[$\frac{3π}{2}$，2π]．

點評 本題主要考查正弦函數的圖象和性質，復合函數的單調性，屬于中檔題．