Question

【題目】某市在精準扶貧和生態文明建設的專項工作中，為改善農村生態環境，建設美麗鄉村，開展農村生活用水排污管道“村村通”.已知排污管道外徑為1米，當兩條管道并行經過一塊農田時，如圖，要求兩根管道最近距離不小于0.25米，埋沒的最小覆土厚度（路面至管頂）不低于0.5米.埋設管道前先挖掘一條橫截面為等腰梯形的溝渠，且管道所在的兩圓分別與兩腰相切.設.

（1）為了減少農田的損毀，則當為何值時，挖掘的土方量最少？

（2）水管用吊車放入渠底前需了解吊繩的長度，在（1）的條件下計算長度.

Answer 1

【答案】（1）時，挖掘的土方量最少（2）長度約為1米

【解析】

(1) 顯然取最小覆土厚度等于0.5米，兩根管道最近距離等于0.25米時梯形面積最小, 設圓與底切于點，連接，則，過點作，垂足為,然后將和用表示后,求出面積關于的表達式,然后利用基本不等式求出面積取最小值時的,并且此時滿足,故即為所求.

(2)在直角三角形求出后,在三角形中用余弦定理可求得.

（1）根據題意等腰梯形面積最小時，挖掘土方量最少，顯然取最小覆土厚度等于0.5米，兩根管道最近距離等于0.25米時梯形面積最小.設圓與底切于點，連接，則，過點作，垂足為.如圖:

因為，所以，

直角三角形和直角三角形中，米，米，

所以，

所以，

所以

,

所以

.

當且僅當，即時等號成立，

此時,,且,符合題意.

所以時，挖掘的土方量最少.

（2）由（1）知，，在直角三角形中，

米，

在三角形中，，米，由余弦定理得；

，所以長度約為1米.