Question

【題目】已知雙曲線的左、右頂點(diǎn)分別為，焦點(diǎn)在軸上的橢圓以為頂點(diǎn)，且離心率為．

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線交雙曲線右支于另一點(diǎn)，交橢圓于另一點(diǎn)，記，的面積分別為，若，求直線的斜率．

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）由雙曲線的性質(zhì)可得的坐標(biāo)，即可得橢圓中的值，結(jié)合離心率可得的值，進(jìn)而可得結(jié)果.

（2）設(shè)，，直線方程，分別將直線與雙曲線的方程，直線與橢圓的方程聯(lián)立求得，的值，根據(jù)面積關(guān)系可得為和的中點(diǎn)，即，代入解出的值即可.

（1）由題意得，，所以在焦點(diǎn)在軸上橢圓中，

又∵橢圓離心率，結(jié)合，可得，

∴橢圓的方程為.

（2）設(shè)，其中，，

由題意可得直線斜率一定存在，故可設(shè)直線方程，

由得，

又∵，即，

由得，

又∵，即，

，的面積分別為，滿足，

可得為和的中點(diǎn)，即，

代入得，

解得