Question

【題目】棱長(zhǎng)為1的正方體內(nèi)部有一圓柱，此圓柱恰好以直線為軸.有下列命題：

①圓柱的母線與正方體所有的棱所成的角都相等；

②正方體所有的面與圓柱的底面所成的角都相等；

③在正方體內(nèi)作與圓柱底面平行的截面，則截面的面積；

④圓柱側(cè)面積的最大值為.

其中正確的命題是______.

Answer 1

【答案】①②④

【解析】

根據(jù)正方體的特性分析可知①②正確，作出一個(gè)與圓柱底面平行的截面，舉出反例得到③錯(cuò)誤，利用幾何法找出圓柱的底面半徑，列式計(jì)算圓柱側(cè)面積，結(jié)合均值不等式計(jì)算得到④正確，得到答案.

如圖所示：易知圓柱的母線與平行，由正方體的對(duì)稱性可知與其每條側(cè)棱間的夾角都相等，①正確；

設(shè)分別為對(duì)應(yīng)棱的中點(diǎn)，易知共面，

易證，，則平面，平面，故，同理可得，故平面，

又圓柱的底面與垂直，

故平面與圓柱的底面平行，

根據(jù)正方體的特點(diǎn)可知，平面與正方體所有側(cè)面的夾角相同，

故正方體所有的面與圓柱的底面所成的角都相等，②正確；

此時(shí)截面的面積為，③錯(cuò)誤；

設(shè)圓柱底面半徑為，則圓柱的底面必與過點(diǎn)的三個(gè)面相切，

且切點(diǎn)分別在線段上，設(shè)在上的切點(diǎn)為，為圓柱的一條高，

根據(jù)對(duì)稱性知：，則圓柱的高為，

，

當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，④正確.

故答案為：①②④.