Question

【題目】如圖，在空間直角坐標系O﹣xyz中，已知正四棱錐P﹣ABCD的所有棱長均為6，底面正方形ABCD的中心在坐標原點，棱AD，BC平行于x軸，AB，CD平行于y軸，頂點P在z軸的正半軸上，點M，N分別在線段PA，BD上，且．

（1）求直線MN與PC所成角的大小；

（2）求銳二面角A﹣PN﹣D的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）．

【解析】

（1）首先建立空間直角坐標系，然后求出M，N，P，C點坐標，根據點坐標即可求出直線MN與PC所成角的大小；

（2）首先求出平面APN與平面PND的法向量，根據二面角公式即可求出二面角A﹣PN﹣D的余弦值.

解：（1）如圖，已知正四棱錐P﹣ABCD的所有棱長均為6，

，，，，，

設，，

由，得，，

即，所以，，，

由，得，故，

所，，

所以，

所以直線MN與PC所成的角為；

（2）因為AC平面PBD，設平面PBD的法向量，

設平面PAN的法向量為，，，

由，得，故，

所以，

故銳二面角A﹣PN﹣D的余弦值為．