Question

【題目】已知函數，存在，使得函數在區間上有兩個極值點，則實數的取值范圍是（ ）

A. B. C. D.

Answer 1

【答案】B

【解析】

f′（x）＝aex﹣lnx﹣1，根據存在n∈N，使得函數f（x）在區間（n，n+2）上有兩個極值點，可得方程f′（x）＝0必有兩個不等根，等價于a在區間（n，n+2）上有兩個不等根，等價于函數y＝a與g（x）在區間（n，n+2）上有兩個不同的交點．利用導數研究其單調性極值與最值即可得出．

f′（x）＝aex﹣lnx﹣1，∵存在n∈N，使得函數f（x）在區間（n，n+2）上有兩個極值點，

∴方程f′（x）＝0必有兩個不等根，等價于a在區間（n，n+2）上有兩個不等根，

等價于函數y＝a與g（x）在區間（n，n+2）上有兩個不同的交點．

g′（x），

令h（x）＝1﹣x（lnx+1），h′（x）＝﹣（lnx+2）．

可得x∈（0，e﹣2）時，h′（x）＞0；x∈（e﹣2，+∞）時，h′（x）＜0．

∴x＝e﹣2時，函數h（x）取得極大值h（e﹣2）＝1+e﹣2．

又h（1）＝0，x→0+時，h（x）→1．

∴取n＝0，區間為（0，2）．

g′（1）＝0．

x∈（0，1）時，函數g（x）單調遞增；x∈（1，2）時，函數g（x）單調遞減．

∴x＝1時，函數g（x）取得極大值即最大值，g（1）．

x→0+時，g（x）→﹣∞；x＝2時，g（2）．

∴實數a的取值范圍是．

故選：B．