Question

【題目】已知函數，.

（1）求函數的單調區間；

（2）若函數的極小值為0，.

①求的值；

②若對于任意的，，有成立，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）單調減區間為（2）①②

【解析】

（1）首先求出導函數，利用導數與函數單調性的關系即可求解.

（2）①由已知可得，，求出導函數，令，利用導數與極值的關系即可求解； ②設，根據題意只需成立，求出，結合①分類討論，若，當時，，不滿足，故必有，令，解得，根據與定義域的關系進行討論：分或，利用導數求出即可求解.

解：（1）由已知得，

令，方程無實數解，

可知對任意都有，所以函數的單調減區間為，無增區間.

（2）由已知化簡得，.

①，令，解得.

當變化時，，的變化情況如下表：

		0
		極小值

故極小值.因為極小值為0，所以.

②設，

根據題意，對任意的，，有成立，

可得.

由①可知，當時，在處取得最小值0，

又因為在上遞增，所以當時，.

若，則當時，，不符題意，舍去.故必有.

令，解得.

下面根據與定義域的關系進行討論：

當，即時，在上恒成立，

因此在，上遞減，從而當，時，

總有，故符合題意；

當，即時，可知對任意的，恒成立，

因此在，內遞增.

因為，所以當時，，不合題意.

綜上，的取值范圍是.