Question

【題目】設(shè)數(shù)列前項(xiàng)和為,對(duì)任意,點(diǎn)都在函數(shù)圖像上．

（1）求、、,并猜想數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（2）用數(shù)學(xué)歸納法證明（1）的猜想；

（3）若數(shù)列滿足：,,且對(duì)任意的,都有、、成公比為的等比數(shù)列,、、成等差數(shù)列,設(shè),求數(shù)列的通項(xiàng)公式．

Answer 1

【答案】（1）2,4,6,；（2）證明見解析；（3）．

【解析】

(1) 由題意化簡(jiǎn)可得,再分別令,代入求解、、即可猜測(cè).

(2)根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法的一般方法,分析時(shí),命題成立,再假設(shè)時(shí),命題成立,即.則時(shí)代入求解得即可證明.

(3)根據(jù)題意先求根據(jù)求得,再根據(jù)、、成公比為的等比數(shù)列,以及、、成等差數(shù)列可得,進(jìn)而求得,再代入計(jì)算可得即可證明數(shù)列為等差數(shù)列,進(jìn)而求得通項(xiàng)公式.

（1）由題意,,∴,

令,得,∴,令,得,∴,

令,得,∴,

猜測(cè)；

（2）證明：時(shí),命題成立,

假設(shè)時(shí),命題成立,即,

則時(shí),①,②,

②－①得,∴,即時(shí),命題也成立,

由、可知,對(duì)任意的,都有成立,

（3）,,

∵、、成公比為的等比數(shù)列,∴,

又∵、、成等差數(shù)列,∴,

從而,∴,

∴,∴是首項(xiàng)為1,公差為1的等差數(shù)列,

∴．