Question

【題目】已知函數．

（1）若曲線在處的切線過點．

① 求實數的值；

② 設函數，當時，試比較與的大小；

（2）若函數有兩個極值點，（），求證：．

Answer 1

【答案】(1)①;②見解析;(2)見解析.

【解析】分析：（1）①求出函數的導數，得到切點，表示出切線方程，代入切點的坐標即可求解；

②由，設 ，利用導數得到函數的單調性和最值，即可得到結論．

（2）設通過討論的范圍，得到函數的單調性，根據 得到，進而得到，設，得到單調減函數，即可作出證明．

詳解：（1）①因為，所以，

由曲線在處的切點為，

所以在處的切線方程為．

因為切線過點，所以．

②，

由．

設（），所以，

所以在為減函數．

因為，所以當時，有，則；當時，有，則；

當時，有，則．

（2）由題意，有兩個不等實根，（）．

設，則（），

當時，，所以在上是增函數，不符合題意；

當時，由，得，

列表如下：

		0
	↗	極大值	↘

由題意，

，解得，所以，

因為，所以．

因為，所以，

所以（）．

令（），

因為，所以在上為減函數，

所以，即，

所以，命題得證．