Question

【題目】若函數在其定義域內給定區間上存在實數.滿足，則稱函數是區間上的“平均值函數”，是它的一個均值點.

（1）判斷函數是否是區間上的“平均值函數”，并說明理由

（2）若函數是區間上的“平均值函數”，求實數的取值范圍.

（3）設函數是區間上的“平均值函數”，1是函數的一個均值點，求所有滿足條件實數對.

Answer 1

【答案】（1）是區間上的“平均值函數”，理由見解析；（2）；（3）或

【解析】

（1）根據條件可知，故滿足；

（2）由條件可知，

則有，解出，再結合范圍可求出范圍；

（3）根據條件表示出（1），化簡整理可得，結合的范圍可求出的范圍．

（1）由題意可知，存在成立，

則是區間上的“平均值函數”；

（2）由題意知存在，，知，即，

則，因為，所以，

而在有解，不妨令，

解得或，則，解得；

（3）由題意的，則，且，

由題意可知，即，所以，

因為，所以，則，又因為，則，或，則當時，；當時，成立，

所以或是滿足條件的實數對.