Question

15．已知橢圓C的方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1的一條漸近線與x軸所成的夾角為30°，且雙曲線的焦距為4$\sqrt{2}$．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設F₁，F₂分別為橢圓C的左，右焦點，過F₂作直線l（與x軸不重合）交于橢圓于A，B兩點，線段AB的中點為E，記直線F₁E的斜率為k，求k的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由雙曲線的漸近線方程及斜率公式，即可求得a²=3b²，c=2$\sqrt{2}$，即a²+b²=8，即可求得a和b的值，求得橢圓方程；
（2）設直線AB的方程，代入橢圓方程，利用韋達定理求得斜率丨k丨用t表示，利用基本不等式即可求得k的取值范圍．

解答 解：（1）由一條漸近線與x軸所成的夾角為30°，則$\frac{b}{a}$=tan30°=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，即a²=3b²，
由2c=4$\sqrt{2}$．c=2$\sqrt{2}$，則a²+b²=8，
解得：a²=8，b²=2，
∴橢圓的標準方程：$\frac{{x}^{2}}{6}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$；
（2）由（1）可知：F₂（2，0），直線AB的方程：x=ty+2，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
$\left\{\begin{array}{l}{x=ty+2}\\{\frac{{x}^{2}}{6}+\frac{{y}^{2}}{2}=1}\end{array}\right.$，整理得：（t²+3）y²+4ty-2=0，
y₁+y₂=-$\frac{4t}{{t}^{2}+3}$，x₁+x₂=$\frac{12}{{t}^{2}+3}$，
則E（$\frac{6}{{t}^{2}+3}$，-$\frac{2t}{{t}^{2}+3}$），
由F₁（-2，0），則直線F₁E的斜率k=$\frac{\frac{2t}{{t}^{2}+3}}{-2-\frac{6}{{t}^{2}+3}}$=-$\frac{t}{{t}^{2}+6}$，
①當t=0時，k=0，
②當t≠0時，丨k丨=$\frac{丨t丨}{丨t{丨}^{2}+6}$=$\frac{1}{丨t丨+\frac{6}{丨t丨}}$≤$\frac{1}{2\sqrt{6}}$，
即丨k丨∈（0，$\frac{\sqrt{6}}{12}$]，
∴k的取值范圍[-$\frac{\sqrt{6}}{12}$，$\frac{\sqrt{6}}{12}$]．

點評 本題考查橢圓的標準方程，直線與橢圓的位置關系，考查韋達定理，直線的斜率公式及基本不等式的應用，考查計算能力，屬于中檔題．