Question

6．已知函數f（x）=$\frac{1+alnx}{x}$（a＞0）．
（Ⅰ）若函數f（x）在x=1處取得極值，且函數y=f（x）圖象上一點的切線l過原點，求l的方程；
（Ⅱ）討論f（x）的單調性．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數的導數，求出a的值，設出切點坐標，表示出切線方程，根據方程過（0，0）點，求出切點坐標，求出切線方程即可；
（Ⅱ）求出函數的導數，通過討論a的范圍，求出函數的單調區間即可．

解答 解：（Ⅰ）f′（x）=$\frac{a-1-alnx}{{x}^{2}}$，
而函數f（x）在x=1處取得極值，
故f′（1）=a-1=0，解得：a=1，
故f（x）=$\frac{1+lnx}{x}$，f′（x）=$\frac{-lnx}{{x}^{2}}$，
設切點是（m，$\frac{1+lnm}{m}$），則f′（m）=$\frac{-lnm}{{m}^{2}}$，
故切線方程是：y-$\frac{1+lnm}{m}$=-$\frac{lnm}{{m}^{2}}$（x-m），
將（0，0）代入方程得：-$\frac{1+lnm}{m}$=-$\frac{lnm}{{m}^{2}}$•（-m），
解得：m=${e}^{-\frac{1}{2}}$，f′（m）=$\frac{1}{2e}$，
故切點是（$\frac{\sqrt{e}}{e}$，$\frac{\sqrt{e}}{2e}$），
切線方程是：y-$\frac{\sqrt{e}}{2e}$=$\frac{1}{2e}$（x-${e}^{-\frac{1}{2}}$），
即ex-2e²y+（e-1）$\sqrt{e}$=0；
（Ⅱ）f′（x）=$\frac{a-1-alnx}{{x}^{2}}$，（x＞0），
①a＞0時，令f′（x）＞0，解得：x＜${e}^{\frac{a-1}{a}}$，令f′（x）＜0，解得：x＞${e}^{\frac{a-1}{a}}$，
故f（x）在（0，${e}^{\frac{a-1}{a}}$）遞增，在（${e}^{\frac{a-1}{a}}$，+∞）遞減；
②a=0時，f′（x）=-$\frac{1}{{x}^{2}}$＜0，
故f（x）在（0，+∞）遞減；
③a＜0時，令f′（x）＞0，解得：x＞${e}^{\frac{a-1}{a}}$，令f′（x）＜0，解得：x＜${e}^{\frac{a-1}{a}}$，
故f（x）在（0，${e}^{\frac{a-1}{a}}$）遞減，在（${e}^{\frac{a-1}{a}}$，+∞）遞增．

點評 本題考查了函數的單調性問題，考查導數的應用以及分類討論思想，是一道中檔題．