Question

7．已知函數f（x）=$\sqrt{3}$sinxcosx-cos²x-$\frac{1}{2}$．
（Ⅰ）求函數f（x）的對稱軸方程；
（Ⅱ）將函數f（x）的圖象上各點的縱坐標保持不變，橫坐標伸長為原來的2倍，然后再向左平移$\frac{π}{3}$個單位，得到函數g（x）的圖象．若a，b，c分別是△ABC三個內角A，B，C的對邊，a=2，c=4，且g（B）=0，求b的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用三角恒等變換化簡f（x）的解析式，再利用正弦函數的圖象的對稱性，求得函數f（x）的對稱軸方程．
（Ⅱ）利用函數y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規律求得g（x）的解析式，再利用余弦定理求得b的值．

解答 解：（Ⅰ）函數$f（x）=\sqrt{3}sinxcosx-{cos^2}x-\frac{1}{2}$=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}sin2x-\frac{1}{2}（1+cos2x）-\frac{1}{2}=sin（2x-\frac{π}{6}）-1$，
令$2x-\frac{π}{6}=kπ+\frac{π}{2}，k∈Z$，解得$x=\frac{kπ}{2}+\frac{π}{3}，k∈Z$，
所以函數f（x）的對稱軸方程為$x=\frac{kπ}{2}+\frac{π}{3}，k∈Z$．
（Ⅱ）函數f（x）的圖象各點縱坐標不變，橫坐標伸長為原來的2倍，得到函數$y=sin（x-\frac{π}{6}）-1$的圖象，
再向左平移$\frac{π}{3}$個單位，得到函數$y=sin（x+\frac{π}{3}-\frac{π}{6}）-1$的圖象，所以函數$g（x）=sin（x+\frac{π}{6}）-1$．
又△ABC中，g（B）=0，所以$sin（B+\frac{π}{6}）-1=0$，又$\frac{π}{6}＜B+\frac{π}{6}＜\frac{7π}{6}$，
所以$B+\frac{π}{6}=\frac{π}{2}$，則$B=\frac{π}{3}$．由余弦定理可知，${b^2}={a^2}+{c^2}-2accosB={2^2}+{4^2}-2×2×4cos\frac{π}{3}=12$，
所以$b=2\sqrt{3}$．

點評 本題主要考查三角恒等變換，正弦函數的圖象的對稱性，函數y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規律，余弦定理，屬于中檔題．