Question

【題目】已知橢圓C1：(a>b>0)的右焦點F與拋物線C2的焦點重合，C1的中心與C2的頂點重合．過F且與x軸重直的直線交C1于A，B兩點，交C2于C，D兩點，且|CD|=|AB|．

（1）求C1的離心率；

（2）若C1的四個頂點到C2的準線距離之和為12，求C1與C2的標準方程．

Answer 1

【答案】（1）；（2）：，： .

【解析】

（1）根據題意求出的方程，結合橢圓和拋物線的對稱性不妨設在第一象限，運用代入法求出點的縱坐標，根據，結合橢圓離心率的公式進行求解即可；

（2）由（1）可以得到橢圓的標準方程，確定橢圓的四個頂點坐標，再確定拋物線的準線方程，最后結合已知進行求解即可；

解：（1）因為橢圓的右焦點坐標為：,所以拋物線的方程為，其中.

不妨設在第一象限，因為橢圓的方程為：，

所以當時，有，因此的縱坐標分別為，；

又因為拋物線的方程為，所以當時，有，

所以的縱坐標分別為，，故，.

由得，即，解得（舍去），.

所以的離心率為.

（2）由（1）知，，故，所以的四個頂點坐標分別為，，，，的準線為.

由已知得，即.

所以的標準方程為，的標準方程為.