Question

如圖,是以為直徑的上一點,于點,過點作的切線,與的延長線相交于點是的中點,連結并延長與相交于點,延長與的延長線相交于點.

(1)求證:；

(2)求證:是的切線；

(3)若,且的半徑長為,求和的長度.

 

Answer 1

【答案】

（1）根據三角形的相似來證明，

（2）要證明直線是圓的切線，只要證明圓心與切點的連線與直線垂直即可。

（3），

【解析】

試題分析：．(1)證明：是的直徑，是的切線，

．又，．

易證，．

．．

是的中點，．．

(2)證明：連結．是的直徑，．

在中，由（1），知是斜邊的中點，

．．又，．

是的切線，．

，是的切線．

(3)解：過點作于點．，．

由(1)，知，．

由已知，有，，即是等腰三角形．

，．，，即．

，四邊形是矩形，．

，易證．，即．

的半徑長為，．．

解得．．，．．

在中，，，由勾股定理，得．

．解得（負值舍去）．．

［或取的中點，連結，則．易證，，故，．由，易知，．

由，解得．又在中，由勾股定理，得

，（舍去負值）．］

考點：三角形的相似，圓 的性質

點評：主要是考查了圓內的性質以及相似三角形的性質的運用，屬于中檔題。