Question

已知函數f（x）=e^x，直線l的方程為y=kx+b．
（1）若直線l是曲線y=f（x）的切線，求證：f（x）≥kx+b對任意x∈R成立；
（2）若f（x）≥kx+b對任意x∈R成立，求實數k、b應滿足的條件．

Answer 1

（1）證明：∵f'（x）=e^x
記切點為T（t，e^t），
∴切線l的方程為y-e^t=e^t（x-t）
即y=e^tx+e^t（1-t）（3分）
∴

k=et b=et(1-t)

．
記函數F（x）=f（x）-kx-b，
∴F（x）=e^x-e^tx-e^t（1-t）
∴F'（x）=e^x-e^t
∴F（x）在x∈（-∞，t）上為減，在x∈（t，+∞）為增
故F_min（x）=F（t）=e^t-e^tt-e^t（1-t）=0
故F（x）=f（x）-kx-b≥0
即f（x）≥kx+b對任意x∈R成立（7分）
（2）∵f（x）≥kx+b對任意x∈R成立，
即e^x≥kx+b對任意x∈R成立
①當k＜0時，取x0=

|b|+1

k

＜0，
∴ex0＜e0=1，而kx₀+b=|b|+1+b≥1
∴ex1＜kx1+b，
∴k＜0不合題意．
②當k=0時，若b≤0，則e^x≥kx+b對任意x∈R成立
若b＞0取x1=ln

b

2

，
∴ex1=

b

2

，而kx₁+b=b
∴ex0＜kx0+b，
∴k=0且b＞0不合題意，
故k=0且b≤0不合題意（10分）
③當k＞0時，
令G（x）=e^x-kx-b，G'（x）=e^x-k，由G'（x）=0，得x=lnk，
所以G（x）在（-∞，lnk）上單減，（lnk，+∞）單增
故G（x）≥G（lnk）=k-klnk-b≥0
∴

k＞0 b≤k(1-lnk)

（13分）
綜上所述：滿足題意的條件是

k=0 b≤0

或

k＞0 b≤k(1-lnk)

（14分