Question

函數f(x)=

a

x

+lnx，其中a為實常數．
（1）討論f（x）的單調性；
（2）不等式f（x）≥1在x∈（0，1]上恒成立，求實數a的取值范圍；
（3）若a=0，設g（n）=1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

，h（n）=

1

23

+

2

32

+

3

43

+…+

n-1

n3

（n≥2，n∈N₊）．是否存在實常數b，既使g（n）-f（n）＞b又使h（n）-f（n+1）＜b對一切n≥2，n∈N₊恒成立？若存在，試找出b的一個值，并證明；若不存在，說明理由．

Answer 1

（1）定義域為（0，+∞），
①當a≤0時，函數在定義域上單調增函數；
②當a＞0時，f′（x）=-

a

x2

+

1

x

，當x＞a時，f′（x）＞0，函數單調遞增，增區間為（a，+∞）；當0＜x＜a時，f′（x）＜0，函數單調遞減，單調減區間為（0，a）；
（2）不等式f（x）≥1在x∈（0，1]上恒成立，?a≥[-xlnx+x]_max，x∈（0，1]，
令g（x）=-xlnx+x，x∈（0，1]，g′(x)=-lnx-x•

1

x

+1=-lnx≥0(x∈(0，1])，
∴g（x）在x∈（0，1]上單增，
∴g（x）_max=g（1）=1，
∴a≥1，
故a的取值范圍為[1，+∞）．
（3）存在，如b=0等．下面證明：1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

＞lnn，(n≥2，n∈N+)
及

1

23

+

2

33

+

3

43

+…+

n-1

n3

＜ln(n+1)，(n≥2，n∈N+)成立．
①先證1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

＞lnn，(n∈N+)，注意lnn=ln

2

1

+ln

3

2

+…+ln

n

n-1

，
這只要證

1

k-1

＞ln

k

k-1

=ln(1+

1

k-1

)，(k=2，3，…n)（*）即可，
x＞ln（1+x）對x＞0恒成立，取x=

1

k-1

(k≥2)即可得上式成立．
讓k=2，3，…，n分別代入（*）式再相加即證：1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n-1

＞lnn，(n∈N+)，
于是1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n-1

+

1

n

＞1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n-1

＞lnn，(n∈N+)．
②再證

1

23

+

2

33

+

3

43

+…+

n-1

n3

＜ln(n+1)，(n≥2，n∈N+)，
∵

n-1

n3

＜

n-1

n3-1

=

n-1

(n-1)(n2+n+1)

=

1

n2+n+1

＜

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，(n≥2)，
∴

1

23

+

2

33

+

3

43

+…+

n-1

n3

＜(

1

2

-

1

3

)+(

1

3

-

1

4

)+…+(

1

n

-

1

n+1

)=

1

2

-

1

n+1

＜

1

2

，
又∵n≥2，ln(n+1)≥ln3＞ln

e

=

1

2

，故不等式成立．