Question

已知函數f(x)=px-

p

x

-2lnx．
（Ⅰ）若p=2，求曲線f（x）在點（1，f（1））處的切線方程；
（Ⅱ）若函數f（x）在其定義域內為增函數，求正實數p的取值范圍；
（Ⅲ）設函數g(x)=

2e

x

，若在[1，e]上至少存在一點x₀，使得f（x₀）＞g（x₀）成立，求實數p的取值范圍．

Answer 1

（I）當p=2時，函數f(x)=2x-

2

x

-2lnx，f（1）=2-2-2ln1=0.f′(x)=2+

2

x2

-

2

x

，
曲線f（x）在點（1，f（1））處的切線的斜率為f'（1）=2+2-2=2．
從而曲線f（x）在點（1，f（1））處的切線方程為y-0=2（x-1）
即y=2x-2．
（II）f′(x)=p+

p

x2

-

2

x

=

px2-2x+p

x2

．
令h（x）=px²-2x+p，
要使f（x）在定義域（0，+∞）內是增函數，只需h（x）≥0在（0，+∞）內恒成立．
由題意p＞0，h（x）=px²-2x+p的圖象為開口向上的拋物線，對稱軸方程為x=

1

p

∈(0，+∞)，
∴h(x)min=p-

1

p

，只需p-

1

p

≥0，
即p≥1時，h（x）≥0，f'（x）≥0
∴f（x）在（0，+∞）內為增函數，正實數p的取值范圍是[1，+∞）．
（III）∵g(x)=

2e

x

在[1，e]上是減函數，
∴x=e時，g（x）_min=2；x=1時，g（x）_max=2e，
即g（x）∈[2，2e]，
1當p＜02時，h（x）=px²-2x+p3，其圖象為開口向下的拋物線，對稱軸x=

1

p

4在y5軸的左側，且h（0）＜0，
所以f（x）在x∈[1，e]9內是減函數．
當p=0時，h（x）=-2x，因為x∈[1，e]，所以h（x）＜0，
f′(x)=-

2x

x2

＜0，此時，f（x）在x∈[1，e]內是減函數．
∴當p≤0時，f（x）在[1，e]上單調遞減⇒f（x）_max=f（1）=0＜2，不合題意； （
當0＜p＜1時，由x∈[1，e]⇒x-

1

x

≥012，所以f(x)=p(x-

1

x

)-2lnx≤x-

1

x

-2lnx．
又由（2）知當p=1時，f（x）在[1，e]上是增函數，
∴x-

1

x

-2lnx≤e-

1

e

-2lne=e-

1

e

-2＜2，不合題意；
14當p≥115時，由（2）知f（x）16在[1，e]17上是增函數，f（1）=0＜218，又g（x）19在[1，e]20上是減函數，
故只需f（x）_max＞g（x）_min，x∈[1，e]，而f(x)max=f(e)=p(e-

1

e

)-2lne，g（x）_min=2，即p(e-

1

e

)-2lne＞2，解得p＞

4e

e2-1

綜上所述，實數p的取值范圍是(

4e

e2-1

，+∞)．