Question

設函數f（x）=x+

1

x-2

，
（1）當x＞2時，求函數f（x）的最小值；
（2）當x≥4時，求函數f（x）的最小值．

Answer 1

（1）∵x＞2，
∴x-2＞0，
∴f（x）=x+

1

x-2

=（x-2）+

1

x-2

+2≥2

(x-2) 1 x-2

+2=4，
當且僅當x-2=1，即x=3時取等號，
∴函數f（x）的最小值為f（3）=4；
（2）∵f（x）=x+

1

x-2

，
∴f′（x）=1-

1

(x-2)2

=

(x-3)(x-1)

(x-2)2

，
∵x≥4，
∴f′（x）＞0，
∴函數f（x）在[4，+∞）上單調遞增，
∴當x=4時，f（x）取得最小值為f（4）=4+

1

2

=

9

2

，
故函數f（x）的最小值為

9

2

．