Question

數列{a_n}滿足的前n項和S_n=2n-a_n，n∈N^*
（1）計算數列{a_n}的前4項；
（2）猜想a_n的表達式，并證明；
（3）求數列{n•a_n}的前n項和T_n．

Answer 1

（1）計算得：a1=1，a2=

3

2

，a3=

7

4

，a4=

15

8

．（3分）
（2）∵s_n=2n-a_n當n≥2時
∴s_n-1=2（n-1）-a_n-1兩式相減可得：a_n=2-a_n+a_n-1即：
∵a n=

1

2

an-1+1?a n-2=

1

2

(an-1-2)
所以，數列{a_n-2}是首項為a₁-2=-1公比為

1

2

的等比數列
∵a n-2=(-1)•(

1

2

)n-1?a n=2-(

1

2

)n-1
即an=

2n-1

2n-1

（7分）
當n=1時，a₁=1，
∴an=

2n-1

2n-1

，
（3）因為n•an=2n-n•(

1

2

)n-1
設數列{n•(

1

2

)n-1}的前n項和為M_nM_n
=1•(

1

2

)0+2•(

1

2

)1+3•(

1

2

)2+n•(

1

2

)n-1

1

2

Mn
=1•(

1

2

)1+2•(

1

2

)2+(n-1)•(

1

2

)n-1+n•(

1

2

)n
兩式相減可得：

1

2

Mn=(

1

2

)0+(

1

2

)1+(

1

2

)2++(

1

2

)n-1-n•(

1

2

)n
=

1-( 1 2 )n-1

1- 1 2

-n•(

1

2

)n=2-(

1

2

)n-n•(

1

2

)n
=2-(n+1)•(

1

2

)nM_n
=4-(n+1)•(

1

2

)n+1（12分）