Question

已知數列{a_n}的前n項和為S_n，且S_n=2n²+n，n∈N^﹡，數列{b_n}滿足b₁=1，b_n+1=2b_n，n∈N^﹡.cn=

1

S1+1

+

1

S2+2

+…+

1

Sn+n

（1）求a_n，b_n，c_n；
（2）求數列{a_n•b_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析：（1）由S_n=2n²+n可求得a_n；利用等比數列的通項公式可求得b_n；利用錯位相減法與累加法可求得c_n；
（2）由（1）知a_nb_n=（4n-1）•2^n-1，利用錯位相減法即可求得數列{a_n•b_n}的前n項和T_n．

解答：（1）由S_n=2n²+n，得
當n=1時，a₁=S₁=3；
當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=2n²+n-[2（n-1）²+（n-1）]=4n-1，n∈N^﹡．
又數列{b_n}滿足b₁=1，b_n+1=2b_n，n∈N^﹡．
∴數列{b_n}是以1為首項，2為公比的等比數列，
∴b_n=2^n-1，n∈N^﹡
∴

1

Sn+n

=

1

2(n2+n)

=

1

2

•

1

n(n+1)

=

1

2

（

1

n

-

1

n+1

），
∴c_n=

1

2

[（1-

1

2

）+（

1

2

-

1

3

）+…+（

1

n

-

1

n+1

）]=

1

2

•

n

n+1

=

n

2n+2

．
（2）由（1）知a_nb_n=（4n-1）•2^n-1，n∈N^﹡
∴T_n=3+7×2+11×2²+…+（4n-1）•2^n-1，①
2T_n=3×2+7×2²+…+（4n-5）•2^n-1+（4n-1）•2ⁿ，②
∴②-①得：T_n=（4n-1）•2ⁿ-[3+4（2+2²+…+2^n-1）]
=（4n-5）2ⁿ+5，
∴T_n=（4n-5）2ⁿ+5，n∈N^﹡．

點評：本題考查數列的求和，著重考查等比數列的通項公式與等差數列的概念及錯位相減法的綜合應用，考查推理與運算能力，屬于中檔題．