Question

數列{a_n}滿足的前n項和S_n=2n-a_n，n∈N^*
（1）計算數列{a_n}的前4項；
（2）猜想a_n的表達式，并證明；
（3）求數列{n•a_n}的前n項和T_n．

Answer 1

【答案】分析：（1）令n=1、2、3、4，再利用公式S_n=2n-a_n可以直接求出出數列{a_n}的前4項，
（2）根據a_n=S_n-S_n-1可得a_n=2-a_n+a_n-1即：a_n=a_n-1+2，然后整理得a_n-2=（a_n-2），進而求出a_n的通項公式，
（3）首先求出數列{n•a_n}的數列表達式，然后等差數列求和公式求出數列{2n}的前n項和，再利用錯位相減法求出數列{}的前n項和，進而求出數列{n•a_n}的前n項和T_n．
解答：解：（1）計算得：．（3分）
（2）∵s_n=2n-a_n當n≥2時
∴s_n-1=2（n-1）-a_n-1兩式相減可得：a_n=2-a_n+a_n-1即：
∵
所以，數列{a_n-2}是首項為a₁-2=-1公比為的等比數列
∵
即（7分）
當n=1時，a₁=1，
∴，
（3）因為
設數列的前n項和為M_nM_n
=+++
=+++
兩式相減可得：=++++-
=-=-
=2-M_n
=4-（12分）
點評：本題主要考查數列求和和數列遞推式的知識點，求數列遞推式可以用數學歸納法也可以直接利用a_n=S_n-S_n-1可求出a_n的通項公式，第三問求和需要利用錯位相減法解答，本題難度不是很大．