數列{an}滿足的前n項和Sn=2n-an，n∈N*
（1）計算數列{an}的前4項；
（2）猜想an的表達式，并證明；
（3）求數列{n•an}的前n項和Tn．
分析：（1）令n=1、2、3、4，再利用公式S
n=2n-a
n可以直接求出出數列{a
n}的前4項，
（2）根據a
n=S
n-S
n-1可得a
n=2-a
n+a
n-1即：a
n=
a
n-1+2，然后整理得a
n-2=
（a
n-2），進而求出a
n的通項公式，
（3）首先求出數列{n•a
n}的數列表達式
an=2n-n()n-1，然后等差數列求和公式求出數列{2n}的前n項和，再利用錯位相減法求出數列{
n()n-1}的前n項和，進而求出數列{n•a
n}的前n項和T
n．
解答：解：（1）計算得：
a1=1，a2=，a3=，a4=．（3分）
（2）∵s
n=2n-a
n當n≥2時
∴s
n-1=2（n-1）-a
n-1兩式相減可得：a
n=2-a
n+a
n-1即：
∵
a n=an-1+1?a n-2=(an-1-2)所以，數列{a
n-2}是首項為a
1-2=-1公比為
的等比數列
∵
a n-2=(-1)•()n-1?a n=2-()n-1即
an=（7分）
當n=1時，a
1=1，
∴
an=，
（3）因為
n•an=2n-n•()n-1設數列
{n•()n-1}的前n項和為M
nM
n=
1•()0+
2•()1+
3•()2+
n•()n-1Mn=
1•()1+
2•()2+
(n-1)•()n-1+
n•()n兩式相減可得：
Mn=
()0+
()1+
()2++
()n-1-
n•()n=
-
n•()n=
2-()n-
n•()n=2-
(n+1)•()nM
n=4-
(n+1)•()n+1（12分）
點評：本題主要考查數列求和和數列遞推式的知識點，求數列遞推式可以用數學歸納法也可以直接利用an=Sn-Sn-1可求出an的通項公式，第三問求和需要利用錯位相減法解答，本題難度不是很大．
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