Question

定義在R上的函數，其圖象是連續不斷的，如果存在非零常數（∈R，使得對任意的xR，都有f（x+）=f（x），則稱y=f（x）為“倍增函數”，為“倍增系數”，下列命題為真命題的是____（寫出所有真命題對應的序號）．

①若函數是倍增系數=-2的倍增函數，則至少有1個零點；

②函數是倍增函數，且倍增系數=1；

③函數是倍增函數，且倍增系數∈（0，1）；

④若函數是倍增函數，則

 

Answer 1

【答案】

①③④

【解析】∵函數y=f（x）是倍增系數λ=-2的倍增函數，∴f（x-2）=-2f（x），

當x=0時，f（-2）+2f（0）=0，若f（0），f（-2）任一個為0，函數f（x）有零點．

若f（0），f（-2）均不為零，則f（0），f（-2）異號，

由零點存在定理，在（-2，0）區間存在x₀，f（x₀）=0，即y=f（x）至少有1個零點，故①正確；

∵f（x）=2x+1是倍增函數，∴2（x+λ）+1=λ（2x+1），∴，故②不正確；

∵是倍增函數，∴，∴，故③正確；

∵f（x）=sin（2ωx）（ω＞0）是倍增函數，∴sin[2ω（x+λ）]=λsin（2ωx），

∴．故④正確．故答案為：①③④．