Question

已知f（x）=ax³+bx²+cx+d是定義在R上的函數(shù)，其A，B，C三點，若點B的坐標(biāo)為（2，0），且 f（x）在[-1，0]和[4，5]上有相同的單調(diào)性，在[0，2]和[4，5]上有相反的單調(diào)性．
（1）求 

b

a

的取值范圍；
（2）在函數(shù)f（x）的圖象上是否存在一點M（x₀，y₀），使得 f（x）在點M的切線斜率為3b？求出點M的坐標(biāo)；若不存在，說明理由；
（3）求|AC|的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）利用函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間判斷出x=0是函數(shù)的極值點，利用函數(shù)在極值點處的導(dǎo)數(shù)值為0，列出方程求出c的值，將c的值代入導(dǎo)函數(shù)，令導(dǎo)函數(shù)為0求出方程的兩個根即兩個極值點，據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，判斷出根-2b3a與區(qū)間端點的關(guān)系，列出不等式組求出 

b

a

的取值范圍
（2）假設(shè)存在，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，列出方程，通過判斷判別式的符號得到結(jié)論．
（3）設(shè)出f（x）的三個零點，寫出f（x）的利用三個根不是的解析式，將x=2代入，利用韋達(dá)定理求出A，C的距離，據(jù)（2）求出|AC|的最值．

解答：解：（1）f（x）=ax³+bx²+cx+d⇒f'（x）=3ax²+2bx+c
由題意得：f（x）在[-1，0]和[0，2]上有相反的單調(diào)性
所以f'（0）=0
所以c=0
當(dāng)c=0時，f'（x）=0的另一個根為x=-

2b

3a

f（x）在[0，2]和[4，5]上有相反的單調(diào)性，
所以2≤-

2b

3a

≤4，
所以-6≤

b

a

≤-3
由題意得：f（x）=ax³+bx²+d=0的三個不同根為2，x_A，x_C
得f（2）=0
所以d=-8a-4b
f（x）=（x-2）[ax²+（2a+b）x+2（2a+b）]=0
所以ax²+（2a+b）x+2（2a+b）]=0二個不同根為x_A，x_C，
所以

△=(2a+b)(b-6a)＞0

，
解得

b a ＞6或 b a ＜-2

綜上得：-6≤

b

a

≤-3…（5分）
（2）假設(shè)在函數(shù)f（x）的圖象上存在一點M（x₀，y₀），使得f（x）在點M的切線斜率為3b
則 f'（x₀）=3b?3ax₀²+2bx₀-3b=0有解（*）
令t=

b

a

⇒-6≤t≤-3，a，b≠0
得：△=4a²（t²+9t）=4a²t（t+9）＜0與（*）矛盾
在函數(shù)f（x）的圖象上不存在一點M（x₀，y₀），使得f（x）在點M的切線斜率為3b…（10分）
（3）由（1）得：

|AC|2=(xA-xC)2=(xA+xC)2-4xAxC |AC|2= 1 a2 [(2a+b)2-8a(2a+b)] |AC|2=t2-4t-12=(t-2)2-16∈[9，48]

…（14分）
所以3≤|AC|≤4

3

點評：本題考查極值點處的函數(shù)值為0，極值點左右兩邊的導(dǎo)函數(shù)符號相反；解決二次方程的根的問題常用到韋達(dá)定理．