Question

已知f（x）=ax³+bx²+cx+d是定義在R上的函數，其圖象與X軸交于A，B，C三點，若點B的坐標為（2，0），且f（x）在[-1，0]和[4，5]上有相同的單調性，在[0，2]和[4，5]上有相反的單調性．則|AC|的取值范圍為

[3，4

3

]

．

Answer 1

分析：由已知中f（x）=ax³+bx²+cx+d是定義在R上的函數，其圖象與X軸交于A，B，C三點，由點B的坐標為（2，0），且f（x）在[-1，0]和[4，5]上有相同的單調性，在[0，2]和[4，5]上有相反的單調性．利用函數在極值點處的導數值為0，可得c=0，進而可設A（α，0），C（β，0），根據韋達定理可求出α，β與a，b，c，d的關系式，將x=2代入后再利用韋達定理求出A，C的距離，據②的結論可求出|AC|的最值，進而得到|AC|的取值范圍．

解答：解：①由可知f（x）在區間[-1，0]和[0，2]上有相反的單調性，
∴x=0是f（x）的一個極值點，
∴f′（0）=0
而f′（x）=3ax²+2bx+c，
故c=0
②令f′（x）=0，則3ax²+2bx=0，
解得  x₁=0，x₂=-

2b

3a

．
又f（x）在區間[0，2]和[4，5]上有相反的單調性，
得

- 2b 3a ≥2 - 2b 3a ≤4

解得-6≤

b

a

≤-3．
③由題意，可設A（α，0），C（β，0），
則由題意可令f（x）=a（x-α）（x-2）（x-β）=a[x³-（2+α+β）x²+（2α+2β+αβ）x-2αβ]=ax³+bx²+cx+d
則

b=-a(2+α+β) c=2α+2β+αβ=0 d=-2aαβ

，解得

α+β=- b a -2 αβ=- d 2a

又∵函數f（x）的圖象交x軸于B（2，0），
∴f（2）=0即8a+4b+d=0
∴d=-4（b+2a），
 αβ=4+

2b

a

從而  |AC|=|α-β|=

(α+β)2-4αβ

=

( b a -2)2-16

∵-6≤

b

a

≤-3
∴當

b

a

=-6時，|AC|max=4

3

；當

b

a

=-3時，|AC|min=3．
所以3≤|AC|≤4

3

故答案為：[3，4

3

]

點評：本題考查極值點處的函數值為0，極值點左右兩邊的導函數符號相反；解決二次方程的根的問題常用到韋達定理．