Question

已知f（x）=ax³+bx²+cx+d（a≠0）是定義在R上的函數，其圖象交x軸于A、B、C三點，若點B的坐標為（2，0），且f（x）在[-1，0]和[4，5]上有相同的單調性，在[0，2]和[4，5]上有相反的單調性．
（1）求實數C的值；
（2）在函數f（x）的圖象上是否存在點M（x₀，y₀），使f（x）在點M處的切線斜率為3b？若存在，求出點M的坐標；不存在說明理由．

Answer 1

分析：1由函數極值點定義解得f'（0）=0．
2假設存在 若求出x的值即證明假設否則不存在

解答：解：（1）由已知得f'（x）=3ax²+2bx+c因為f（x）在[-1，0]和[0，2]上有相反的單調性，
所以x=0是f（x）的一個極值點∴f'（0）=0?∴c=0（4分）
（2）∵c=0，∴f'（x）=3ax²+2bx
令f′(x)=0得3ax2+2bx=0，解得x1=0，x2=-

2b

3a

因為f（x）在[0，2]和[4，5]上有相反單調性，
所以2≤-

2b

3a

≤4?即有-6≤

b

a

≤-3?(8分)
假設存在點M（x₀，y₀），使得f（x）在點M處的切線斜率為3b，則f'（x₀）=3b即3a

x

2 0

+2bx0-3b=0??所以△=4ab(

b

a

+9)
∵-6≤

b

a

≤-3??∴ab＜0，

b

a

+9＞0，??∴△＜0，x0無解
故不存在點M（x₀，y₀），使得f（x）在點M處的切線斜率為3b（12分）

點評：第一問較簡單．第二問進一步考查極值點和 一元二次方程根存在問題