Question

【題目】某校學生研究學習小組發現，學生上課的注意力指標隨著聽課時間的變化而變化，老師講課開始時，學生的興趣激增；接下來學生的興趣將保持較理想的狀態一段時間，隨后學生的注意力開始分散．設表示學生注意力指標．

該小組發現隨時間（分鐘）的變化規律（越大，表明學生的注意力越集中）如下：（且）．

若上課后第分鐘時的注意力指標為，回答下列問題：

（）求的值．

（）上課后第分鐘和下課前分鐘比較，哪個時間注意力更集中？并請說明理由．

（）在一節課中，學生的注意力指標至少達到的時間能保持多長？

Answer 1

【答案】(1) .

(2) 上課后第分鐘時比下課前分鐘時注意力更集中；理由見解析.

(3) 學生的注意力指標至少達到的時間能保持分鐘．

【解析】分析：（1）由題意，，從而求出a的值；

（2）上課后第5分鐘末時，，下課前5分鐘末，從而可得答案；

（3）分別討論三段函數上，從而求出的解，從而求在一節課中，學生的注意力指標至少達到140的時間能保持的時間.

詳解：（）由題意得，當時，，即，

解得．

（）∵，，

∴，

故上課后第分鐘時比下課前分鐘時注意力更集中．

（）①當時，由（）知，，解得；

②當時，恒成立；

③當時，，解得．

綜上所述，．

故學生的注意力指標至少達到的時間能保持分鐘．