Question

【題目】已知各項均不相等的等差數列{an}的前n項和為Sn，S10=45，且a3,a5,a9恰為等比數列{bn}的前三項，記 ．

(1)分別求數列{an}、{bn}的通項公式；

(2)若m=17，求cn取得最小值時n的值；

(3)當c1為數列{cn}的最小項時， 有相應的可取值，我們把所有am的和記為A1；…；當ci為數列的最小項時，有相應的可取值，我們把所有am的和記為Ai；…，令Tn= A1+ A2+…+An，求Tn.

Answer 1

【答案】（1），；（2）0；（3）

【解析】分析：（1）先利用等比中項和等差數列的通項公式、前項和公式得到關于首項和公差的方程組，進而得到等差數列的通項公式，再利用等比數列的前三項求出等比數列的通項公式；（2）化簡，得到關于的二次函數，利用函數的單調性進行求解；（3）化簡，得到關于的二次函數，利用換元思想，討論二次函數的對稱軸、單調性進行求解．

詳解：(1)由，

∴an=n1，

∴b1=a3=2，b2=a5=4，b3=a9=8，易得bn=2n.

(2) 若 m=17，則 cn=(2n16)( 2n+116)=2(2n12)232，

當n=3或n=4，cn取得最小值0.

(3) cn=(bnam) (bn+1am) =22n+13(m1)2n +(m1)2，

令2n =tn，則cn=f(tn)=2tn 23(m1)tn+(m1)2，根據二次函數的圖象和性質，當c1取得最小值時，t1在拋物線對稱軸tn =的左、右側都有可能，但t2≤t3≤t4≤…都在對稱軸的右側，必有

c2≤c3≤c4≤….而c1取得最小值，∴c1≤c2≤c3≤c4≤…，等價于c1≤c2.

由c1≤c2解得1≤m≤5，∴A1=a1+a2+…+a5=10，

同理，當ci(i==2,3, …)取得最小值時，只需

解得，

∴.

可得.