Question

已知橢圓C：（）的左焦點為，離心率為.
（1）求橢圓C的標準方程；
（2）設O為坐標原點，T為直線上任意一點，過F作TF的垂線交橢圓C于點P，Q.當四邊形OPTQ是平行四邊形時，求四邊形OPTQ的面積.

Answer 1

(1) ；（2）

試題分析：（1）由已知得：，，所以，再由可得，從而得橢圓的標準方程. ）橢圓方程化為.設PQ的方程為，代入橢圓方程得：.面積，而，所以只要求出的值即可得面積.因為四邊形OPTQ是平行四邊形，所以，即.
再結合韋達定理即可得的值.
試題解析：（1）由已知得：，，所以
又由，解得，所以橢圓的標準方程為：.
（2）橢圓方程化為.
設T點的坐標為，則直線TF的斜率.
當時，直線PQ的斜率，直線PQ的方程是
當時，直線PQ的方程是，也符合的形式.
將代入橢圓方程得：.
其判別式.
設，
則.
因為四邊形OPTQ是平行四邊形，所以，即.
所以，解得.
此時四邊形OPTQ的面積
.
【考點定位】1、直線及橢圓的方程；2、直線與圓錐曲線的位置關系；3、三角形的面積.