Question

已知橢圓的離心率，分別為橢圓的長(zhǎng)軸和短軸的端點(diǎn)，為中點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，且.
（1）求橢圓的方程；
（2）過點(diǎn)的直線交橢圓于兩點(diǎn)，求面積最大時(shí)，直線的方程.

Answer 1

（1）；（2）直線的方程為.

試題分析：（1）利用橢圓的性質(zhì)，弦長(zhǎng)可得，，由此可求，故橢圓的方程為；
（2）根據(jù)直線與橢圓的位置關(guān)系，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立方程得，所以可寫出
設(shè)，則，則，其中，易證單調(diào)減，當(dāng)時(shí)，的最大值為.所以，此時(shí)，直線的方程為.
（1）∵∴①                    2分

∴    ②，
∴由①②得
∴橢圓的方程為                    4分
（2）設(shè)直線的方程為
由
                   7分



設(shè)，則
則，其中
易證單調(diào)減，當(dāng)時(shí)，的最大值為         10分
∴
此時(shí)，直線的方程為        12分