Question

設(shè),分別是橢圓的左右焦點(diǎn)，M是C上一點(diǎn)且與x軸垂直，直線與C的另一個(gè)交點(diǎn)為N.
（1）若直線MN的斜率為，求C的離心率；
（2）若直線MN在y軸上的截距為2，且，求a,b.

Answer 1

（1）；（2），.

試題分析：本題第（1）問，可結(jié)合與x軸垂直，由勾股定理及橢圓定義求出橢圓的離心率；對第（2）問，觀察到是三角形的中位線，然后結(jié)合向量的坐標(biāo)運(yùn)算及橢圓方程，可求出a,b.
試題解析：（1）由題意知，，所以，由勾股定理可得：，由橢圓定義可得：=，解得C的離心率為。
（2）由題意，原點(diǎn)O為的中點(diǎn)，∥y軸，所以直線與y軸的交點(diǎn)D（0，2）是線段的中點(diǎn)，故，即，由得，設(shè)，由題意知，則
，即，代入C的方程得，將及代入得：，解得，.
【易錯(cuò)點(diǎn)】對第（1）問，較容易，大部分同學(xué)都能計(jì)算出；對第（2）問,一部分同學(xué)考慮不到中位線，
容易聯(lián)立方程組求解而走彎路，并且容易出現(xiàn)計(jì)算失誤.