Question

已知f（x）是定義在R上的奇函數．當x＞0時，f（x）=2x³-9x²+12x，則不等式f（x）≥-f（-1）在R上的解集是

 

．

Answer 1

考點：函數奇偶性的性質

專題：函數的性質及應用

分析：求導數，可判函數f（x）在（0，1）單調遞增，（1，2）單調遞減，（2，+∞）單調遞增，又可得-f（-1）=f（1）=5，f（2）=4＜f（1），令f（1）=f（x）可得x₁=1，x₂=5，由方程和不等式的關系可得答案．

解答： 解：∵當x＞0時，f（x）=2x³-9x²+12x，
∴f′（x）=6x²-18x+12=6（x-1）（x-2），
令f′（x）＜0可解得x∈（1，2），
故函數f（x）在（0，1）單調遞增，
（1，2）單調遞減，（2，+∞）單調遞增，
又-f（-1）=f（1）=5，f（2）=4＜f（1），
令f（1）=f（x）可得（x-1）²（x-5）=0，
解得x₁=1，x₂=5，
∴不等式f（x）≥-f（-1）在R上的解集是（5，+∞）
故答案為：（5，+∞）

點評：本題考查函數的性質，涉及導數法判斷函數的單調性，屬基礎題．