Question

在平面直角坐標系中，不等式

x+y≥0 x-y+4≥0 x≤1

表示的平面區域面積是n，則二項式（x-

2

x

）ⁿ展開式中x³項的系數是（　　）

• A、-672
• B、-84
• C、84
• D、672

Answer 1

考點：二項式定理,簡單線性規劃

專題：數形結合,二項式定理

分析：由約束條件作出可行域，求出三角形的面積得到n的值，寫出二項式的通項，由x的指數為3求得r值，則答案可求．

解答： 解：由不等式

x+y≥0 x-y+4≥0 x≤1

作出表示的平面區域如圖，
聯立

x+y=0 x-y+4=0

，解得：

x=-2 y=2

，則C（-2，2）．
聯立

x=1 x+y=0

，解得

x=1 y=-1

，則A（1，-1）．
聯立

x=1 x-y+4=0

，解得

x=1 y=5

．
∴平面區域面積n=

1

2

×|5-（-1）|×|1-（-2）|=9．
代入（x-

2

x

）ⁿ得(x-

2

x

)9．
Tr+1=

C

r 9

x9-r(-

2

x

)r=(-2)r

C

r 9

x9-2r，
由9-2r=3，得r=3．
∴二項式（x-

2

x

）ⁿ展開式中x³項的系數是(-2)3

C

3 9

=-672．
故選：A．

點評：本題考查了簡單的線性規劃，考查了二項展開式的通項公式，體現了數形結合的解題思想方法，是中檔題．