Question

【題目】設x軸、y軸正方向上的單位向量分別是 、 ，坐標平面上點列An、Bn（n∈N*）分別滿足下列兩個條件：① = 且 = + ；② =4 且 = ×4 ；
（1）寫出 及 的坐標，并求出 的坐標；
（2）若△OAnBn+1的面積是an ， 求an（n∈N*）的表達式；
（3）對于（2）中的an ， 是否存在最大的自然數M，對一切n∈N*都有an≥M成立？若存在，求出M，若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解： = + = + + = +2 =（1，2）， =2 +3 =（2，3）

=（n﹣1） +n =（n﹣1，n）

（2）解：An（n﹣1，n），它滿足直線方程y=x+1，因此點An在直線y=x+1上．

=（1+1﹣ +…+ ﹣ ）×4 = × ，

∴△OAnBn+1的面積an= =

（3）解：設t=n+1，（t≥2，t∈N+）則an=4t+ ﹣6，

y=4t+ ，則y′=4﹣ ＞0在[2，+∞）上恒成立，

∴an=4t+ ﹣6≥3，

∵對一切n∈N*都有an≥M成立，

∴M≤3，

∴M的最大值為3

【解析】（1）利用向量的加法運算寫出 及 的坐標，并求出 的坐標；（2）An（n﹣1，n），它滿足直線方程y=x+1，因此點An在直線y=x+1上． =（1+1﹣ +…+ ﹣ ）×4 = × ，即可求an（n∈N*）的表達式；（3）設t=n+1，（t≥2，t∈N+）則an=4t+ ﹣6，an=4t+ ﹣6≥3，即可得出結論．