Question

【題目】【2017揚州一模20】已知函數，其中函數，．

（1）求函數在處的切線方程；

（2）當時，求函數在上的最大值；

（3）當時，對于給定的正整數，問函數是否有零點？請說明理由．（參考數據）

Answer 1

【答案】見解析

【解析】解：(1)，故，

所以切線方程為，即

（2），故，

令，得或.

①當,即時，在上遞減，在上遞增，

所以,

由于，，故，

所以;

②當,即時，在上遞增，上遞減，在上遞增，

所以，

由于，，故，7分

所以;

綜上得，

（3）結論：當時，函數無零點；當時，函數有零點9分

理由如下：

①當時，實際上可以證明：．

方法一：直接證明的最小值大于0，可以借助虛零點處理．

，顯然可證在上遞增，

因為，，

所以存在，使得，

所以當時，遞減；當時，遞增，

所以，其中，

而遞減，所以，

所以，所以命題得證。

方法二：轉化為證明，下面分別研究左右兩個函數．

令，則可求得，

令，則可求得，所以命題得證。1

方法三：先放縮，再證明．

可先證明不等式（參考第1小題，過程略），所以只要證，

令，則可求得，

所以命題得證．

②當時，，

此時，，

下面證明，可借助結論處理，首先證明結論：

令，則，故，

所以在上遞增，所以，

所以在上遞增，所以，得證。

借助結論得，

所以，又因為函數連續，

所以在上有零點.