Question

【題目】如圖，在長方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F分別為AB，A1C的中點，且AA1＝AD．

（1）求直線EF與平面ABCD所成角的大小；

（2）若EF＝AB，求二面角B－A1C－D的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）作平面，連接，即直線與平面所成的角，求出和，利用，然后再利用正切值求出即可；

（2）設,則，利用，求出，再建立空間直角坐標系，用向量法求解二面角的余弦值.

（1）如圖，作平面，所以,

又點是的中點，所以，

是的中位線，所以點是的中點，，

連接，則即直線與平面所成的角，

，

所以，即直線與平面所成的角為；

（2）設,則，

由（1）知，，

又，所以，

以點為原點，以為軸、為軸、為軸建立空間直角坐標系，如圖，

則，，，，

，，，

設平面的法向量，

則，

，令，則，所以，

設平面的法向量，

則，

，令，則，所以，

所以向量和的夾角即二面角，

，

即二面角的余弦值為.