Question

【題目】已知橢圓的左，右焦點分別為，該橢圓的離心率為，以原點為圓心，橢圓的短半軸長為半徑的圓與直線相切.

（I）求橢圓的方程；

（Ⅱ）如圖，若斜率為的直線與軸，橢圓順次交于點在橢圓左頂點的左側）且，求證：直線過定點；并求出斜率的取值范圍.

Answer 1

【答案】（I）；（Ⅱ）證明見解析，.

【解析】

（I）根據橢圓離心率求得，根據圓心到直線的距離等于半徑求得的值，進而求得的值和橢圓的標準方程.（II）設出兩點的坐標，根據，得到，將兩點坐標代入上式.設出直線的方程，代入橢圓方程并化簡，寫出韋達定理和判別式，將韋達定理得到的式子代入，化簡后可求得直線所過定點.根據判別式，求得的取值范圍.

（Ⅰ）解：橢圓的左，右焦點分別為，橢圓的離心率為，即有，即，，以原點為圓心，橢圓的短半軸長為半徑的圓方程為，

直線與圓相切，則有，

即有，

則橢圓C的方程為；

（Ⅱ）證明：設，

由，可得直線和關于x軸對稱

即有，即，

即有，①

設直線，代入橢圓方程，可得，判別式，即為②，③，

代入①可得，，

將③代入，化簡可得，

則直線的方程為，即．即有直線恒過定點．

將代入②，可得，

解得或

則直線的斜率的取值范圍是．