Question

【題目】已知函數，當時，的取值范圍是.

（1）求的值；

（2）若不等式對恒成立，求實數的取值范圍；

（3）若函數有3個零點，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1) . (2) ；(3)

【解析】

（1）討論k的取值范圍，說明在上的單調性，求出對應的值域，即可求出k的值；

（2）轉換為對恒成立，換元求出的最小值即可；

（3）令，則，等價轉換為有兩個不等的實數解，且兩解，滿足，，利用根的分布，求出的取值范圍.

解：（1）當時，在上是增函數，，與已知不符.

當且時，，當且僅當時，取等號.

在是減函數，在上是增函數.

當時，，，

此時，符合題意.

當時，由題意知，或，，求得而，不合題意.

∴.

（2）可化為，

∴.

∵，∴，

∴，時，取最小值0.

∴即的取值范圍是.

（3）由題意知，，

令，則，函數有3個零點，

化為有兩個不等的實數解，且兩解，滿足，，

設，則或，

∴即的取值范圍是.