Question

【題目】已知橢圓，上、下頂點分別是、，上、下焦點分別是、，焦距為，點在橢圓上.

（1）求橢圓的方程；

（2）若為橢圓上異于、的動點，過作與軸平行的直線，直線與交于點，直線與直線交于點，判斷是否為定值，說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2），理由見解析.

【解析】

（1）求出橢圓的上、下焦點坐標，利用橢圓的定義求得的值，進而可求得的值，由此可得出橢圓的方程；

（2）設點的坐標為，求出直線的方程，求出點的坐標，由此計算出直線和的斜率，可計算出的值，進而可求得的值，即可得出結論.

（1）由題意可知，橢圓的上焦點為、，

由橢圓的定義可得，可得，，

因此，所求橢圓的方程為；

（2）設點的坐標為，則，得，

直線的斜率為，所以，直線的方程為，

聯立，解得，即點，

直線的斜率為，直線的斜率為，

所以，，，

因此，.