Question

已知數列{a_n}，{b_n}，滿足a₁=2，2a_n=1+2a_na_n+1，b_n=a_n-1（b_n≠0）．
（Ⅰ）求證數列{

1

bn

}是等差數列，并求數列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）令C_n=b_nb_n+1，S_n為數列{C_n}的前n項和，求證：S_n＜1．

Answer 1

考點：數列與不等式的綜合,等差關系的確定

專題：點列、遞歸數列與數學歸納法

分析：（Ⅰ）由b_n=a_n-1得到a_n=b_n+1，代入2a_n=1+2a_na_n+1，得到{

1

bn

}為等差數列，由等差數列的通項公式求得

1

bn

，
進一步得到b_n，則數列{a_n}的通項公式可求；
（Ⅱ）把b_n代入C_n=b_nb_n+1，整理得到Cn=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，則數列{C_n}的前n項和可求，放縮得到S_n＜1．

解答： 證明：（Ⅰ）∵b_n=a_n-1，
∴a_n=b_n+1，
又2a_n=1+2a_na_n+1，
∴2（b_n+1）=1+（b_n+1）（b_n+1+1），
化簡得：b_n-b_n+1=b_nb_n+1，
∵b_n≠0，
∴

1

bn+1

-

1

bn

=1（n∈N^*）
又

1

b1

=

1

a1-1

=

1

2-1

=1，
∴{

1

bn

}是以1為首項，1為公差的等差數列．
∴

1

bn

=1+(n-1)×1=n，
∴bn=

1

n

．
則an=

1

n

+1=

n+1

n

；
（Ⅱ）由C_n=b_nb_n+1，得：
Cn=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

．
∴S_n=C₁+C₂+…+C_n=(1-

1

2

)+(

1

2

-

1

3

)+…+(

1

n

-

1

n+1

)
=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

=1-

1

n+1

．
∵n∈N^*，
∴1-

1

n+1

＜1．
即S_n＜1成立．

點評：本題考查數列與不等式綜合，考查了等差關系的確定，訓練了裂項相消法求數列的和，是中檔題．