Question

證明下列命題：
（1）若函數f（x）可導且為周期函數，則f′（x）也為周期函數；
（2）可導的奇函數的導函數是偶函數．

Answer 1

考點：簡單復合函數的導數,導數的運算

專題：函數的性質及應用,導數的概念及應用

分析：（1）利用復合函數導數公式及周期性定義即可證明；
（2）利用復合函數導數公式及奇偶性定義即可證明；

解答： 證明：（1）設f（x）的周期為T，則f（x）=f（x+T）．
∴f′（x）=[f（x+T）]′=f′（x+T）•（x+T）′
=f′（x+T），即f′（x）為周期函數且周期與f（x）的周期相同．…（5分）
（2）∵f（x）為奇函數，
∴f（-x）=-f（x）．
∴[f（-x）]′=[-f（x）]′．
∴f′（-x）•（-x）′=-f′（x）．
∴f′（-x）=f′（x），即f′（x）為偶函數        …（10分）

點評：本題考查復合函數的求導公式及周期性及奇偶性的證明，有一定的綜合性