Question

設f（x）=alnx（a∈R），曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程為y=x+b（b∈R）．
（1）求a、b的值；
（2）設集合A=[1，+∞），集合B={x|f（x）-m（x-

1

x

）≤0}，若A⊆B，求實數m的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導數研究曲線上某點切線方程,利用導數求閉區間上函數的最值

專題：綜合題,導數的綜合應用

分析：（1）求導數，利用曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程為y=x+b，可求a、b的值；
（2）由A⊆B，可得?x∈[1，+∞），f(x)≤m(x-

1

x

)，即lnx≤m(x-

1

x

)，設g(x)=lnx-m(x-

1

x

)，即?x∈[1，+∞），g（x）≤0，分類討論，結合函數的單調性，即可得出結論．

解答： 解：（1）∵f（x）=alnx（a∈R），
∴f′(x)=

a

x

，
由題設f'（1）=1，∴a=1，
又切點為（1，0）在切線y=x+b上，∴b=-1．（4分）
（2）f（x）=lnx，∵A⊆B，∴?x∈[1，+∞），f(x)≤m(x-

1

x

)，即lnx≤m(x-

1

x

)，
設g(x)=lnx-m(x-

1

x

)，即?x∈[1，+∞），g（x）≤0，g′(x)=

1

x

-m(1+

1

x2

)=

-mx2+x-m

x2

，（6分）
①若m≤0，g'（x）＞0，g（x）在[1，+∞）上為增函數，g（x）≥g（1）=0，
這與題設g（x）≤0矛盾；（9分）
②若m＞0方程-mx²+x-m=0的判別式△=1-4m²，
當△≤0，即m≥

1

2

時，g'（x）≤0，∴g（x）在（1，+∞）上單調遞減，
∴g（x）≤g（1）=0，即不等式成立，（12分）
當0＜m＜

1

2

時，方程-mx²+x-m=0，設兩根為x₁，x₂（x₁＜x₂），
x1=

1- 1-4m2

2m

∈(0，1)，x2=

1+ 1-4m2

2m

∈(1，+∞)，
當x∈（1，x₂），g'（x）＞0，g（x）單調遞增，g（x）＞g（1）=0，與題設矛盾，
綜上所述，m≥

1

2

．…..（15分）

點評：本題考查導數知識的運用，考查導數的幾何意義，考查函數的單調性，考查分類討論的數學思想，正確求導是關鍵．