Question

已知數列{log₂（a_n+1）}為等差數列，且a₁=3，a₂=7（n∈N^*）．
（Ⅰ）求數列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）求證：

1

a2-a1

+

1

a3-a2

+…+

1

an+1-an

＜

1

2

．

Answer 1

考點：數列的求和,等差數列的性質

專題：等差數列與等比數列

分析：（Ⅰ）根據等差數列的定義求出數列的公差，即可求數列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）求出

1

an+1-an

的表達式，利用等比數列的前n項和公式即可證明不等式．

解答： 解：（Ⅰ）設等差數列的公差為d，由a₁=3，a₂=7，
得log₂（3+1）=log₂4=2，log₂（7+1）=log₂8=3，
則d=3-2=1．
所以log₂（a_n+1）=2+（n-1）=n+1，
即a_n+1=2ⁿ⁺¹，
則a_n=2ⁿ⁺¹-1．
（Ⅱ）因為

1

an+1-an

=

1

2n+2-2n+1

=

1

2n+1

，
所以

1

a2-a1

+

1

a3-a2

+…+

1

an+1-an

=

1

22

+

1

23

+

1

24

+…+

1

2n+1

=

1 4 (1- 1 2n )

1- 1 2

=

1

2

(1-

1

2n

)＜

1

2

，
即不等式成立．

點評：本題主要考查等差數列的性質以及等比數列的前n項和公式的應用，考查學生的計算能力．