Question

【題目】已知M是橢圓C：+=1(a>b>0)上一點，F1F2分別為橢圓C的左右焦點，且|F1F2|=2，∠F1MF2=，△F1MF2的面積為.

（1）求橢圓C的方程；

（2）直線l過橢圓C右焦點F2，交該橢圓于AB兩點，AB中點為Q，射線OQ交橢圓于P，記△AOQ的面積為S1，△BPQ的面積為S2，若，求直線l的方程.

Answer 1

【答案】（1）+=1；（2）.

【解析】

（1）根據 |F1F2|=2，得到c=1，設根據∠F1MF2=，△F1MF2的面積為，，得到，然后在中，由余弦定理結合橢圓的定義解得 ，求得即可.

（2）根據，由，得到，從而，當AB斜率不存在時，，不合題意，當AB斜率存在時，設直線方程為，設點，則，兩式作差得到，故設直線OP的方程為：，分別聯立橢圓方程和直線AB的方程，求得點P，Q的坐標，由求解.

（1）因為 |F1F2|=2，

所以c=1，設

，

因為∠F1MF2=，△F1MF2的面積為，

所以，

所以，

在中，由余弦定理得：，

即，

解得，

所以，

所以橢圓C的方程是+=1.

（2）因為，

所以，

所以，

所以，

當AB斜率不存在時，，不合題意，

當AB斜率存在時，設直線方程為，

設點，

則，

兩式作差得：，即，

故直線OP的方程為：，

聯立，解得，

聯立，解得，

因為，

所以，

即，

解得：，

所以直線AB的方程為.